17世纪下半叶，英国的牛顿和德国的莱布尼兹，彻底改变了数学的进程，他们把关于运动和曲线的思想拼凑在一起，创立了微积分。
微积分引入之初年，当莱布尼兹引入“微积分”一词时，他用的是“acalculus”，有时还会亲切地称呼为“mycalculus”，只是一种再普通不过的算法体系，用于执行计算的规则。
后来，在莱布尼兹的微积分体系高度完善之后，这个领域也被正式称为“thecalculus(微积分)”，现在更是直接特指“calculus”。
calculus一词源自拉丁词根calx,意指一块小石头，不知道这和很久以前人们用小石块来计数和计算，有没有某种冥冥之中的渊源传承。
生活中有可能会用calculus指代牙垢，也可能指代各种体内的各种结石。
宿命的是，牛顿和莱布尼茨两位微积分的先驱，都死于给他们造成极大痛苦的结石，牛顿患有膀胱结石，而莱布尼茨患有肾结石，可谓是成也calculus败也calculus。
微积分的三大核心问题1.正向问题：已知一条曲线，求它各处的斜率；
2.反向问题：已知一条曲线各处的斜率，求这条曲线的方程；
.面积问题：已知一条曲线，求曲线下方的面积。
面积、积分和基本定理早在17世纪40年代，费马和笛卡尔两位大神就发现了利用代数找到曲线最大值、最小值和切线的方法。而曲线所围成的面积，仍然是一个未知数。
传统上，这个面积问题被称作曲线求积，它困扰和折磨数学家达两千年之久。
人们想出很多解决特定问题的巧妙技巧，比如，阿基米德在圆的面积和抛物线求积方面取得的成果，以及费马在计算幂函数曲线围城面积的方法。
然而，因为缺少一个系统化的理论支撑，各个面积问题只能在特定的基础上解决，并且要具体问题具体分析，每个问题都得从头开始。
同样的困局，也体现在曲面体的体积和曲线的弧长计算上。
其实，所有这些问题——曲线围城的面积、曲线的弧长、曲面体的体积，都需要对无穷多个无穷小的部分进行求和运算，换成现在的说法，就是它们都涉及积分问题。
在牛顿和莱布尼兹创立微积分之后，他们各自发现并证明了一个基本定理，能使上述这些问题常规化。
该定理将面积与斜率联系起来，进而将积分和导数联系在一起，这个反转着实令世人惊讶不已，两个看似毫不相干的对象，居然存在着“血缘关系”。
这个基本定理的影响力惊人，几乎一夜之间，面积问题就变得容易解决了。曾让早期学者一筹莫展的难题，现在只需几分钟就可以搞定。
最早注意到这个定理的人并不是牛顿和莱布尼茨两位微积分的缔造者，但他们却由此获得赞誉，是因为他们率先证明了这个定理，并围绕它构建起系统的算法体系。
至此，积分这头怪兽被成功驯化，变成了青少年的家庭作业。
运动使基本定理更直观当牛顿动态地看待面积问题时，他发现了微积分基本定理。他的想法是让面积流动起来，并不断地扩大。
以一辆恒定速度行驶的车子为例，其中距离等于速度乘以时间。假设速度为60英里/小时，则距离-时间图像、速度-时间图像，展示如下：
距离与时间的关系为y(t)=60t,其中y表示汽车在t小时后行驶的距离。而速度与时间关系为v(t)=60,常函数的图像是一条平线。
来看看距离在速度图像上如何呈现？假设汽车行驶了半小时，行驶的距离应该是0英里。在速度-时间图像上，平线下方t=0和t=0.5之间的灰色矩形的面积，便是汽车行驶的距离。
同样的推理过程适用于任意时间t，这样一来，矩形的底就变为t，而高仍然是60，矩形的面积是60t。事实上，这正是我们想求解的距离，即y(t)=60t。
牛顿的见解是，即使速度不恒定，面积和距离之间的这个等式也会一直成立。不管物体的运动有多么不规律，它的速度曲线下方累积到时间t的面积总会等于它在t小时后行驶的距离。
牛顿如此见解，是因为他把面积看作一个流动或移动的量，而不是按照当时几何学的惯例，把面积视为对形状的一种静态度量。
牛顿把时间引入几何学，并从物理学的角度去看待它。
今天的我们对动画早已司空见惯，上述速度图像中，当车子行驶时，随着时间的增加，灰色矩形随之向一侧扩张，也就是说动画版的灰色矩形在向右延伸。
车子不断行进中，速度曲线v(t)下方的面积是“不断累积”的。累积到的面积与汽车的行驶距离都是60t。
因此，速度曲线下方的累积面积，会给出距离随时间变化的情况，这是运动版的基本定理。
恒定的加速度我们的最终目标是找到牛顿基本定理的通用几何版本，它是用抽象曲线y(x)及其下方的累积面积A(x)表示的。
尽管累积面积的概念是解释这个定理的关键，但我们需要一些时间来适应这个概念。所以，在用这个概念处理抽象的几何实例之前，先将它应用于一个更加具体的运动问题。
假设一个以恒定加速度运动的物体，加速度为a,则速度函数为v(t)=at。这个例子中的速度并不恒定，每时每刻都在增加，至此，已经告别了匀速世界，来到了动态的恒定加速世界。
其实，中世纪的学者已经研究过这类问题，遗憾的是他们的成果没有广泛研究而得出系统的结论，很快就被遗忘了。
伽利略通过实验证明了恒定加速度并不是一种纯粹的学术假设，而是真实存在。实际上，恒定加速度就是铁球等重物在地表附近自由下落或者滚下缓坡时的运动方式。
回到恒定加速度运动，当速度按照v(t)=at呈线性增长，根据基本定理，其距离等于速度曲线下方累积到时间t的面积。速度曲线是斜线v=at，所以围城的面积为图中灰色三角形的面积。
和之前恒定速度行驶中的矩形面积一样，这里的灰色三角形的面积也是随着时间的推移而扩大。不同之处在于矩形只在水平方向延伸，而三角形则在两个方向上延伸。
计算灰色三角形的面积，任意时刻t对应的底边都是t，而高是这一刻的速度at,则三角形的面积为
，而三角形的面积就是物体运动的距离，即为
。
因此，对一个从静止状态开始均匀加速的物体来说，它的运动距离与所花费的时间的平方成正比，这也和伽利略的实验发现的奇数定律相吻合。
然而，在中世纪甚至是伽利略的时代，人们还不知道当加速度不恒定时，速度会如何变化，换句话说，已知一个以任意加速度a(t)运动的物体，它的速度会如何变化，尚且未知。
加速度的定义是速度的变化率，因此当速度函数v(t)已知时，就很容易通过求解已知函数的变化率——利用导数的定义和法则求导，找到相应的加速度a(t)，这被称为“解决正向问题”。
而反向问题的棘手处在于，速度函数未知，要通过已知的速度变化率反向推导出未知的速度函数。而当已知速度函数，反向推导出距离，也是一样的道理。
而牛顿的微积分基本定理为这类非常棘手的反向问题——从已知的变化率推断出未知的函数，提供了一种解决方案。其关键在于把这类问题重构为一个关于可流动的、扩大的面积。
用变化的面积证明基本定理微积分基本定理是18世纪数学思想的高峰，它通过动态的方式解决了静态的几何问题。
从公元前年古希腊的阿基米德、公元年中国的刘徽、公元年开罗的海什木，到年布拉格的开普勒，可能都思索过这个问题。
上图中任意曲线y(x)围成的阴影部分的面积，是微积分的第三核心问题。
牛顿利用在运动和变化之谜中获得的启发，从一个新的方向切入这个问题，将这个面积放在xy平面上，并确定其顶部曲线的方程。
这需要计算曲线在x轴上方的高度，也就是每次取一个垂直切片以获得相应的y。这个计算过程可以把曲线转化成一个将y和x联系在一起的方程，以便用代数工具进行处理。
当年费马和笛卡尔就充分了解这点，并运用这些技巧找到了曲线的切线，本身已经是很大的突破，但他们忽略了比切线更重要的是切线的斜率，因为正是斜率引出了导数的概念。
作为曲线斜率的导数，非常自然地出现在几何学中，在物理学中，导数也是作为其他变化率呈现的，比如速度、加速度等。
因此，导数表明了斜率与速度之间的联系，是几何学与运动之间的联系，而最终解决面积问题的正是导数。
当牛顿动态地看待面积问题时，斜率与面积、曲线与函数、速度与导数之间隐藏的联系，就从不断变化的阴影中呈现出来。阴影面积可以看作是x的函数A（x），称为累积函数。
当x向右移动时，假设x向右移动无穷小dx，而此时对应的垂直方向上的长度y几乎保持不变，面积的极微小变化是一个极细长的矩形：高为y，底为dx，面积为无穷小的dA=ydx。
上式稍作变形，便可得到阴影面积累积的速率为：
这个公式表明，曲线下方阴影部分的面积会以函数当前值y的速率增大，也就是说曲线下方累积面积等于运动物体行进的距离。